Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev ve Entegral

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev ve Entegral

09:00:00 ...

Koç Üniversitesi’nin sunduğu türev ve entegral kavramları eğitimini keşfet. Eğitimle ilgili detaylı bilgi için sayfanın aşağısına göz at.

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev ve Entegral

Genel Bilgiler

Coursera nedir?

Coursera dünyanın en iyi üniversiteleri ve eğitim kuruluşları ile ortaklığı olan, herkese açık, ücretsiz, online dersler sunan bir eğitim platformudur. Dünya standartlarında bir eğitime herkesin erişilebilmesi gerektiğine inanan Coursera, bu sayede insanları güçlü kılarak kendi hayatlarını, ailelerini ve içinde yaşadıkları toplumu da kendileri ile beraber geliştirmelerini amaçlar.

Coursera eğitimlerine nasıl kayıt olabilirsiniz?

Coursera eğitimleri herkese açıktır. Almak istediğiniz dersi seçtikten sonra Coursera üyesi olarak derse katılım sağlayabilirsiniz.

Dilediğiniz eğitime girip, Türkçe ders içeriğini inceledikten sonra, DEVAM butonuna tıklayarak eğitimin coursera.org sayfasında yer alan İngilizce sayfasına yönlendirilirsiniz. Bu sayfada Ders Oturumlarından dilediğiniz tarihi seçerek derse yazılabilirsiniz. Uygun tarihi seçikten sonra “Ücretsiz Katılın” butonuna basarak, üye olma sayfasına yönlendirileceksiniz. Üye olduktan sonra, derse kayıt yapabilirsiniz. Eğer Ders oturumu bulunmuyorsa, henüz ders verilmeye başlamamıştır ve önümüzdeki dönemlerde tekrar kontrolünü yaparak, uygun bir tarihi seçebilirsiniz.

Eğitim süresi: 7 hafta

Haftada 6-9 saatlik çalışma

NOT: Coursera Eğitimleri en güncel tarayıcı versiyonu ile çalışmaktadır. Eğitimlere başlamadan önce tarayıcınızı güncellemenizi öneririz.

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev ve Entegral I: Temel Kavram ve Yöntemler

Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki ikili dizinin birincisidir. Burada çok değişkenli fonksiyonlardaki temel türev ve entegral kavramlarını geliştirmek ve bu konulardaki problemleri çözmekteki temel yöntemleri sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelen uygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla” tasarlanmıştır.

Ders Hakkında

Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki ikili dizinin birincisidir. Burada çok değişkenli fonksiyonlardaki temel türev ve entegral kavramlarını geliştirmek ve bu konulardaki problemleri çözmekteki temel yöntemleri sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelen uygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla” tasarlanmıştır.

Konuların sunumunda “ne?” ve “nasıl?” sorularının yanısı sıra, “neden?” ve “nerede?” sorularına da yanıt aranacaktır. İlk iki soru “tanım” ve “kanıt”ları oluşturuyor. Diğer iki soru da, konuların nereden geldiğini ve nerede kullanılacağına yanıt veriyor.

Matematikte konuları bir düzen içinde hazır cevaplar vererek geliştirmek (Aristo yöntemi) önemlidir. Bunun yanı sıra sorular sorup, öğrenciyle birlikte yanıtlamak da öğrenim için etkin bir yöntem (Sokrat yöntemi). Buradaki sunumda uygun durumlarda Sokrat yönteminden yararlanmaya özen gösterilmektedir.

Niçin türev ve entegral? Yaşamın iki önemli göstergesi değişim ve birikimdir. Değişim farklarla ve birikim de toplamalarla tanımlanır. Özünde, diferansiyel hesap, ilkokuldan beri öğrenip uyguladığımız çıkarma ve toplama işlemlerinin bir uzantısıdır. Diferansiyel hesaptaki yeni kavram anlık değişim ve değişken girdilerden oluşan birikimin belirlenebilmesidir. Bu iki kavram sonsuz küçük değerleri gerektirir. İstenen anlık değişiklik ve birikim sonsuz küçüklerin sıfır olduğu limitte ulaşılan değerlerdir. Limit diferansiyel hesabın dayandığı temel kavramdır.

Bir fonksiyon, bir girdi (bağımsız değişken) ile çıktı (bağımlı değişken) arasındaki ilişkidir. Bağımlı değişkendeki değişimin, bağımsız değişkendeki değişime oranı “türev” kavramını getirir. Birikim de, örneğin kütleyi, elektrik yükünü, enerjiyi, uzunluğu, alanı, hacmi veren fonksiyonların bağımsız değişkendeki sonsuz küçük değerlerle ağırlıklı toplamıdır. Bu işlem “entegral” kavramıdır. İlkokuldan beri toplama ve çıkarmanın birbirinin tersi ve tamamlayıcısı olduğunu biliyor ve kullanıyoruz. Bu ilişki türev ve entegralde de geçerlidir. Diferansiyel hesabın iki “temel teoremi” bu ilişkiyi kanıtlar: Bir fonksiyonun türevinin entegrali, başlangıçtaki fonksiyonu verir. Benzer olarak, bir fonksiyonun entegralinin türevi de başlangıçtaki fonksiyonu verir. Bu temel sonuçlar “Tek değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı” dersinden biliniyor. Bu ders aynı konuları temel alarak, kavram ve hesaplama yöntemlerini çok değişkenli fonksiyonlara geliştiriyor.

Niçin çok değişkenli fonksiyonlar? Çünkü yaşamın gerçek konuları bir, iki veya üç konum ve bir de zaman değişkeniyle belirleniyor. Ders tek değişkenli fonksiyonlarda öğrendiklerimizin üzerine yapılanıyor. Her yeni konuya başlarken, tek değişkenli fonksiyonlardaki eşdeğer durum hatırlatılacaktır. Bu nedenle önceki dersin konularını hatırlatma, öğrenciye eksik bildiklerini tamamlama ve bildiklerini pekiştirme olanağını da veriyor. Dersin sonunda öğrenciler çok boyutta düşünebilme becerisini geliştirecek, çevreyi ve insan yapısı olan teknolojiyi gerçekçi anlamda kavrayabilecektir.

(Kaynak: Attila Aşkar, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”. Bu kitap dört ciltlik dizinin ikinci cildidir. Dizinin diğer kitapları Cilt 1 “Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, Cilt 3: “Doğrusal cebir” ve Cilt 4: “Diferansiyel denklemler” dir.

Ders Özeti

(Her hafta çok sayıda çözümlü problem ve öğrencilerin çözmesi için çözüm yolunu içeren ödevler ile incelenen konulardaki temel kavramlar ve çözüm yöntemleri özeti verilecektir.)

Birinci hafta, birinci ders

Fonksiyon kavramı: girdi – çıktı, bir değerin diğerine gönderimi, çizit, ve dönüşüm gösterimleri. Çok değişkenli fonksiyonların sınıflandırılması: uzayda eğriler, yüzeyler ve vektör alanları. Düzlemde karteziyen ve dairesel koordinatların, uzayda karteziyen, silindir ve küresel koordinatların tanıtılması. Fonksiyonların açık, kapalı ve parametrelerle gösterilmesi.

Birinci hafta, ikinci ders

Vektörler: düzlemde geometriden cebire. Düzlemde toplama, bir sayıyla çarpma, iç çarpım ve vektör çarpımı. Bu işlemlerin üç boyuta genellenmesi ve üçlü vektör çarpımları. Bu kavramların geometrideki anlamları ve uygulamaları. Uzayda doğrular ve düzlemler.

İkinci hafta

Uzayda eğriler: tek bağımsız ve üç bağımlı değişkenle vektör fonksiyonları. Düzlemdeki temel eğrilerin hatırlatılması ve uzaydaki bazı önemli eğrilerin tanıtılması. Düzlemde yay uzunluğu, eğrilik ile teğet ve dik vektörlerin hatırlatılması. Uzayda yay uzunluğu, teğet, dik ve ikinci dik (binormal) vektörleriyle eğrilik ve burulmanın tanımlanması. Uzaydaki yörüngelerde hız ve ivme.

Üçüncü hafta

Uzayda yüzeyler: iki bağımsız ve tek bağımlı değişkenle tanımlanan sayısal fonksiyonlar. Yüzeylerin anlaşılması ve temel yüzeylerde çizimler: perspektif görünüm, eşit değer eğrileri ve kesitlerin çizimi. İki değişkenli ikinci derece kuvvet fonksiyonlarıyla verilen temel yüzeyler. Silindir yüzeyleri ve dönel yüzeyler. İki değişkenli özel bir yapı olarak karmaşık değerli fonksiyonlar. Mathematica, Mathlab, Ghostviewgibi yazılımlarla bilgisayarda çizimlerden örnekler.

Dördüncü hafta

Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegralin hatırlatılması. Buradaki ana kavramların İki değişkenli fonksiyonlarda “kısmi türev” ve “iki katlı entegral” olarak genellenmesi. Kısmi türev ve iki katlı entegralin geometrideki anlamları. Temel tanımları pekiştiren az sayıda kısmi türev ve iki katlı entegrallerin hesabı.

Beşincive Altıncı haftalar

İki değişkenli sayısal açık fonksiyonlarla tanımlanan yüzeyde teğet düzlem ve diferansiyel. Zincirleme türev yöntemi ve tam türev. Yöne göre türev. Gradyan. Koordinat dönüşümü ve Jakobiyan. Taylor serileri. Kritik noktalar, en büyük ve en küçük değerler. Türev hesaplamalarının üç ve “n” değişkenli fonksiyonlara genellenmesi.

Yedinci hafta

İki katlı entegrallerde hesaplama örnekleri. Kartezyen ve dairesel koordinatlarda hesaplamalar, uygulamalardan örnekler.

 Önerilen Geçmiş

Tek değişkenli kuvvet fonksiyonları, üstel ve logaritma fonksiyonlarıyla trigonometrik fonksiyonların cebirsel özellikleri ve çizimlerinin bilinmesi. Bu fonksiyonlarda türev ve entegralin temel kavramları ve hesaplama becerileri. Bu konularda çok ayrıntılı bir birikim beklenmemektedir.

 Önerilen Kaynaklar

Öğrencilerin ders kitabı alması gerekli değildir. Dersler kendi içinde bir bütünlük ve yeterlilik oluşturmaktadır. Gerek duyan öğrencilerin kullanımına, istekleri durumunda, ilave kaynaklar önerilecektir.

 Ders Formatı

Dersin sunumu şekiller ve formüllerin bilgisayarda “PowerPoint (ppt)” saydamları ve dersi veren kişi tarafından video anlatımlarıyla sağlanmaktadır. Dersler 8 ila 12 dakikalık alt birimlerden oluşmaktadır.

Ders notu 7 kısa haftalık sınav (quiz) (toplam notun %60’ı) ve çoktan seçmeli dönem sonu sınavı (toplam notun %40’ı) ile belirlenir. Başarı Belgesi alabilmek için toplam ders notu %65 ve üzerinde olmalıdır. Üstün Başarı Belgesi alabilmek için de toplam ders notu %80 ve üzerinde olmalıdır.

SSS

Bu ders sonunda bir başarı ve katılım belgesi verilecek mi?

Evet. Dersi başarıyla bitiren öğrencilere Coursera tarafından dersi verenin imzasıyla “Başarı Belgesi” verilir.

Dersi başarıyla tamamlayınca elde edilen kazanım ne oluyor?

(i) Çok boyutta düşünebilme becerisini geliştirecek, çevreyi ve insan yapısı olan teknolojiyi gerçekçi anlamda kavrayabileceksiniz;

(ii) Çok boyutlu uzayları anlayıp, bu uzaylarda hesap yapabileceksiniz;

(iii) Dört yıllık lisans programındaki temel matematik eğitimini almış olacaksınız;

(iv) Bu dersin kredisinin sayılması veya bu dersten muafiyet kazanmanız, kayıtlı olduğunuz kurumun kararına bağlıdır;

(v) Pek çok alanda gerekli görülebilecek doğrusal cebir ve diferansiyel denklemler derslerini almaya hazır olacaksınız; ve

(vi) Mühendislik ve fen bilimlerinde mesleki derslerin pek çoğunu almaya hazır olacaksınız.

Prof. Dr. Atilla Aşkar

Attila Aşkar halen Koç Üniversitesi Matematik Bölümü’nde profesör olarak görev yapmaktadır. Öğretim üyeliğinin yanı sıra, Attila Aşkar Koç Üniversitesi’nde Fen-Edebiyat Fakültesi Dekanlığı (1993 – 1998), Akademik İşlerden Sorumlu Rektör Yardımcılığı (1998 – 2001) ve Rektör (2001 – 2009) olarak görev yapmıştır. 1966 yılında İstanbul Teknik Üniversitesi’nden yüksek mühendislik diploması, 1969 yılında da Princeton Üniversitesi’nden doktora diploması almıştır. Profesör Aşkar’ın geçmişteki akademik ve idari yükümlülüklerinden bazıları şöyledir: Boğaziçi Üniversitesi’nde Matematik Bölümü Öğretim Üyeliği ve Bölüm Başkanlığı, Temel Bilimler Fakültesi Dekan Yardımcılığı, Senato Üyeliği, Üniversitelerarası Kurul Temsilciliği;  TÜBİTAK Marmara Araştıma Merkezi’nde araştırıcı, Bilimadamı Yetiştirme Grubu’nda Üyelik; Brown Üniversitesi’nde doktora sonrası araştırmacılığı, Paris ve Princeton Üniversitelerinde, Max-Planck Enstitüsü’nde (Göttingen) ve Stockholm’deki İsveç Kraliyet Teknoloji Enstitüsü’nde ziyaretçi profesörlük.  

Attila Aşkar TÜBİTAK “Teşvik Ödülü”, TÜBİTAK  “Bilim Ödülü” ile Kültür Bakanlığı “Bilgi Çağı” ödülü sahibidir. Türkiye Bilimler Akademisi Asli Üyeliğine seçilmiştir. Attila Aşkar’ın biri yurt içinde, biri yurt dışında basılmış iki kitabı ile ISI endekslerine giren dergilerde 95 makalesi vardır. En son üzerinde çalıştığı araştırma konuları diferansiyel denklemler, moleküler dinamikteki diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri ile zamana bağlı kuantum mekaniğindeki çözüm yöntemleri ile sürekli ortamlar, elastisite teorisi ve akışkanlar mekaniğini içermektedir. Attila Aşkar’ın mühendislik ve fen bilimleri öğrencilerini hedefleyen “Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, “Doğrusal cebir” ve “Diferansiyel denklemler” başlıklı dört ciltlik dizisi yayına hazırlanmaktadır.

Koç Üniversitesi
Sayfayı kaydırın